Formulaire

Base officielle — formulaire2627.pdf. Cette page retranscrit le formulaire Statistics 2026–2027 et le réorganise pour la révision. Aucune nouvelle formule de fond n’est ajoutée ici. Pour l’examen, le document officiel Moodle reste la référence autorisée.

Carte du formulaire

1. Probabilités et transformations

mindmap root((Probabilités et transformations)) Espérance e1["E(X+Y)=E(X)+E(Y)"] e2["E(aX+b)=aE(X)+b"] Covariance c1["C(aX+b,cY)=ac C(X,Y)"] Normale n1["aX+bY reste normale"] TCL clt["X̄ ≈ N(μ, σ²/n)"] MGF mgf["mS(t)=∏ mXi(t)"]

2. Distributions d’échantillonnage

mindmap root((Distributions d’échantillonnage)) 1 population p1z["σ² connue, n grand → Z"] p1zf["Z=(X̄-μ)/√(σ²/n)"] p1chi["Normale / variance → χ²"] p1chif["(n-1)S²/σ² → χ², df=n-1"] p1t["Variance inconnue → Student"] 2 populations normales p2pool["Variance poolée"] p2mean["Deux moyennes → Z / Student"] p2var["Deux variances → Fisher"]

3. Tests d’hypothèse

mindmap root((Tests d’hypothèse)) 1 population tm["Moyenne: T=√n(x̄-μ₀)/s"] tv["Variance: T=(n-1)s²/σ₀²"] 2 populations t2m["Deux moyennes: T avec S_pool"] t2v["Deux variances: T=s₁²/s₂²"] Type d’alternative tr["À droite"] tl["À gauche"] tb["Bilatérale"]

4. Régression

mindmap root((Régression)) Régression simple rs["β̂₁=Sxy/Sxx · β̂₀=ȳ-β̂₁x̄"] Régression multiple rm1["β̂=(XᵀX)⁻¹Xᵀy"] rm2["σ̂²=SSE/(n-k-1)"] Décomposition dec["SST · SSR · SSE"] Tests tst["F global · Student sur βj"] Intervalles ints["IC coefficients · prédiction"]

Si tu cherches…	Va à…
Transformer $aX+bY+c$	Espérance, covariance et variance
Approximer une moyenne pour grand $n$	TCL
Choisir entre $Z$, $t$, $\chi^2$ ou $F$	Distributions d’échantillonnage
Tester une moyenne ou une variance	Tests — 1 population
Comparer deux moyennes ou deux variances	Tests — 2 populations
Estimer $\beta_0,\beta_1$	Régression linéaire simple
Tester le modèle ou un coefficient	Régression multiple et tests
Construire un intervalle de prédiction	Intervalles en régression
Choisir entre régression, Student, Fisher et ANOVA	Guide de choix régression / ANOVA

Convention des quantiles du formulaire

$t_{\nu,p}$ désigne le quantile d’ordre $p$ d’une Student à $\nu$ degrés de liberté. La même convention est utilisée pour $\chi^2_{\nu,p}$ et $F_{\nu_1,\nu_2,p}$.

Espérance, covariance et variance

Propriétés de l’espérance

$$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$$ $$E(aX+b)=aE(X)+b$$

Propriétés de la covariance

$$C(X+Y,Z)=C(X,Z)+C(Y,Z)$$ $$C(aX+b,cY)=ac\,C(X,Y)$$

Variance d’une combinaison linéaire

$$V(aX+bY+c) =a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\,C(X,Y)$$

Combinaison linéaire de variables normales

Si

$$X\sim\mathcal N(\mu_x,\sigma_x^2), \qquad Y\sim\mathcal N(\mu_y,\sigma_y^2), \qquad \sigma_{x,y}=C(X,Y),$$

alors

$$aX+bY\sim \mathcal N\!\left( a\mu_x+b\mu_y, a^2\sigma_x^2+b^2\sigma_y^2+2ab\sigma_{x,y} \right).$$

Théorème central limite (TCL)

Si $X_1,\ldots,X_n$ sont iid, d’espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$, alors

$$Z_n = \sqrt n\,\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma} \xrightarrow{d} Z\sim\mathcal N(0,1),$$

et, pour $n$ grand,

$$\bar X_n\approx\mathcal N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).$$

Student, Fisher, Gamma et MGF

Construction d’une Student

Si $Z\sim\mathcal N(0,1)$ et $Y\sim\chi_n^2$ sont indépendantes,

$$T_n=\frac{Z}{\sqrt{Y/n}}\sim t_n.$$

Construction d’une Fisher-Snedecor

Si $X\sim\chi_{n_1}^2$ et $Y\sim\chi_{n_2}^2$ sont indépendantes,

$$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}\sim F_{n_1,n_2}.$$

Fonction Gamma

$$\Gamma(z):=\int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}\,dt$$ $$\Gamma(z+1)=z\Gamma(z), \qquad \forall n\in\mathbb N:\ \Gamma(n+1)=n!.$$

Moment generating function (fonction génératrice des moments)

$$m_X(t):=E[e^{tX}]$$ $$m_{aX+b}(t)=e^{bt}m_X(at)$$

Pour $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ avec $X_i$ indépendantes,

$$m_{S_n}(t)=\prod_{i=1}^n m_{X_i}(t).$$

La MGF caractérise la distribution et permet de retrouver les moments :

$$E[X^k] = \left.\frac{\partial^k m_X(t)}{\partial t^k}\right|_{t=0}.$$

Distributions d’échantillonnage

Une population

Ici $\bar X$ est la moyenne d’échantillon et $S^2$ la variance d’échantillon.

Distribution inconnue, $n$ grand, $\sigma^2$ connue

$$\frac{\bar X-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim\mathcal N(0,1)$$

Population normale — variance d’échantillon

Si $X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$,

$$(n-1)\frac{S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}.$$

Population normale — variance inconnue

Si $X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$,

$$\frac{\bar X-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{n-1}.$$

Deux populations normales

Variance poolée :

$$S_{pool}^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}.$$

Deux moyennes, variances connues et possiblement différentes

$$\frac{(\bar X_1-\bar X_2)-(\mu_1-\mu_2)} {\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}} \sim\mathcal N(0,1).$$

Variance poolée, variances égales

Si $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$,

$$(n_1+n_2-2)\frac{S_{pool}^2}{\sigma^2} \sim\chi^2_{n_1+n_2-2}.$$

Rapport de deux variances

$$\frac{S_1^2\sigma_2^2}{S_2^2\sigma_1^2} \sim F_{n_1-1,n_2-1}.$$

Deux moyennes, variance commune inconnue

Si $\sigma_1^2=\sigma_2^2$,

$$\frac{(\bar X_1-\bar X_2)-(\mu_1-\mu_2)} {S_{pool}\sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim t_{n_1+n_2-2}.$$

Tests d’hypothèse — 1 population

Lecture rapide

Le formulaire donne d’abord la statistique de test, puis la région de rejet selon $H_1$. Toujours choisir la ligne correspondant exactement à l’alternative : droite, gauche ou bilatérale.

Test d’une moyenne

$$H_0:\mu=\mu_0, \qquad T(x)=\sqrt n\,\frac{\bar x-\mu_0}{s}.$$

Sous $H_0$, on compare à une Student à $n-1$ degrés de liberté.

Alternative $H_1$	Rejeter $H_0$ si…
$\mu>\mu_0$	$T(x)>t_{n-1,1-\alpha}$
$\mu<\mu_0$	$T(x)<t_{n-1,\alpha}$
$\mu\neq\mu_0$	$T(x)<t_{n-1,\alpha/2}$ ou $T(x)>t_{n-1,1-\alpha/2}$

Test d’une variance

$$H_0:\sigma^2=\sigma_0^2, \qquad T(x)=(n-1)\frac{s^2}{\sigma_0^2}.$$

Alternative $H_1$	Rejeter $H_0$ si…
$\sigma^2\neq\sigma_0^2$	$T(x)<\chi^2_{n-1,\alpha/2}$ ou $T(x)>\chi^2_{n-1,1-\alpha/2}$
$\sigma^2>\sigma_0^2$	$T(x)>\chi^2_{n-1,1-\alpha}$
$\sigma^2<\sigma_0^2$	$T(x)<\chi^2_{n-1,\alpha}$

Tests d’hypothèse — 2 populations

Test sur deux moyennes

Le formulaire utilise le cas de deux populations normales avec variance commune, estimée par $S_{pool}^2$ :

$$T(X_1,X_2) = \frac{(\bar X_1-\bar X_2)-\delta} {S_{pool}\sqrt{1/n_1+1/n_2}}.$$

On teste

$$H_0:\mu_1-\mu_2=\delta.$$

Alternative $H_1$	Rejeter $H_0$ si…
$\mu_1-\mu_2>\delta$	$T(x_1,x_2)>t_{n_1+n_2-2,1-\alpha}$
$\mu_1-\mu_2<\delta$	$T(x_1,x_2)<t_{n_1+n_2-2,\alpha}$
$\mu_1-\mu_2\neq\delta$	$T(x_1,x_2)<t_{n_1+n_2-2,\alpha/2}$ ou $T(x_1,x_2)>t_{n_1+n_2-2,1-\alpha/2}$

Test sur deux variances

$$T(X_1,X_2)=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F_{n_1-1,n_2-1}$$

avec

$$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2.$$

Alternative $H_1$	Rejeter $H_0$ si…
$\sigma_1\neq\sigma_2$	$T(x_1,x_2)<F_{n_1-1,n_2-1,\alpha/2}$ ou $T(x_1,x_2)>F_{n_1-1,n_2-1,1-\alpha/2}$
$\sigma_1>\sigma_2$	$T(x_1,x_2)>F_{n_1-1,n_2-1,1-\alpha}$
$\sigma_1<\sigma_2$	$T(x_1,x_2)<F_{n_1-1,n_2-1,\alpha}$

Régression linéaire simple

Modèle :

$$Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i, \qquad \varepsilon_i\sim\mathcal N(0,\sigma^2).$$

Estimateurs des coefficients

$$\hat\beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)} {\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)^2} = \frac{S_{xy}}{S_{xx}},$$ $$\hat\beta_0=\bar y-\hat\beta_1\bar x.$$

Si

$$\overline{x^2}=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i^2,$$

alors

$$V(\hat\beta_0)=\frac{\sigma^2\overline{x^2}}{S_{xx}}, \qquad V(\hat\beta_1)=\frac{\sigma^2}{S_{xx}},$$ $$C(\hat\beta_0,\hat\beta_1) =-\frac{\sigma^2\bar x}{S_{xx}}.$$

Régression multiple et tests du modèle

Modèle :

$$\mathbf Y=\mathbf X\boldsymbol\beta+\boldsymbol\varepsilon,$$

avec $\mathbf X$ de dimension $n\times(k+1)$ et

$$\boldsymbol\varepsilon\sim\mathcal N(\mathbf 0,\sigma^2I_n).$$

Estimateur des coefficients

$$\hat{\boldsymbol\beta} =(\mathbf X^\top\mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top\mathbf y$$ $$\hat{\boldsymbol\beta} \sim \mathcal N\!\left( \boldsymbol\beta, \sigma^2(\mathbf X^\top\mathbf X)^{-1} \right).$$

Estimateur de $\sigma^2$

$$\hat\sigma^2 = \frac{1}{n-(k+1)} (\mathbf Y-\mathbf X\hat{\boldsymbol\beta})^\top (\mathbf Y-\mathbf X\hat{\boldsymbol\beta}) = \frac{SSE}{n-(k+1)}.$$ $$(n-(k+1))\frac{\hat\sigma^2}{\sigma^2} = \frac{SSE}{\sigma^2} \sim\chi^2_{n-(k+1)}.$$

Décomposition $SST$, $SSR$, $SSE$

$$SST = \sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2 = \mathbf y^\top\left(I_n-\frac1nJ_n\right)\mathbf y$$ $$SSR = \sum_{i=1}^n(\hat y_i-\bar y)^2 = \mathbf y^\top\left(H-\frac1nJ_n\right)\mathbf y$$ $$SSE = \sum_{i=1}^n(y_i-\hat y_i)^2 = \mathbf y^\top(I_n-H)\mathbf y.$$

Le formulaire donne aussi :

$$\frac{SST}{\sigma^2} = \frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar Y)^2 \sim\chi^2_{n-1},$$ $$\frac{SSE}{\sigma^2} = \frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(Y_i-\hat Y_i)^2 \sim\chi^2_{n-(k+1)},$$ $$\frac{SSR}{\sigma^2} = \frac1{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(\hat Y_i-\bar Y)^2 \sim\chi^2_k.$$

Test global de significativité du modèle

$$F^* = \frac{SSR/k}{SSE/(n-k-1)} \sim F_{k,n-(k+1)}.$$

On teste

$$H_0:\beta_1=\cdots=\beta_k=0$$

contre

$$H_1:\beta_j\neq0 \quad\text{pour au moins un }j\in\{1,\ldots,k\}.$$

On rejette $H_0$ si

$$F^*>F_{k,n-(k+1),1-\alpha}.$$

Test d’un coefficient de régression

Soit $c_{j,j}$ le $j$-ième élément diagonal de

$$(\mathbf X^\top\mathbf X)^{-1}.$$

Pour

$$H_0:\beta_j=\beta_{j,0},$$

la statistique est

$$T_j^* = \frac{\hat\beta_j-\beta_{j,0}} {\hat\sigma\sqrt{c_{j,j}}}.$$

Alternative $H_1$	Rejeter $H_0$ si…
$\beta_j>\beta_{j,0}$	$T_j^*>t_{n-k-1,1-\alpha}$
$\beta_j<\beta_{j,0}$	$T_j^*<t_{n-k-1,\alpha}$
$\beta_j\neq\beta_{j,0}$	$T_j^*<t_{n-k-1,\alpha/2}$ ou $T_j^*>t_{n-k-1,1-\alpha/2}$

Intervalles en régression simple

Pour la régression simple,

$$c_{0,0}=\frac{\overline{x^2}}{S_{xx}}, \qquad c_{1,1}=\frac1{S_{xx}}.$$

Intervalle de confiance pour $\beta_1$

$$\beta_1\in \left[ \hat\beta_1 -t_{n-k-1,1-\alpha/2}\hat\sigma\sqrt{S_{xx}^{-1}}, \; \hat\beta_1 +t_{n-k-1,1-\alpha/2}\hat\sigma\sqrt{S_{xx}^{-1}} \right].$$

Intervalle de confiance pour $\beta_0$

$$\beta_0\in \left[ \hat\beta_0 -t_{n-k-1,1-\alpha/2}\hat\sigma\sqrt{\overline{x^2}S_{xx}^{-1}}, \; \hat\beta_0 +t_{n-k-1,1-\alpha/2}\hat\sigma\sqrt{\overline{x^2}S_{xx}^{-1}} \right].$$

Intervalle de prédiction pour $Y_0$

$$Y_0\in \left[ \hat y_0-S_{pred}\,t_{n-2,1-\alpha/2}, \; \hat y_0+S_{pred}\,t_{n-2,1-\alpha/2} \right],$$

avec

$$S_{pred}^2 = \hat\sigma^2 \left( 1+\frac1n+\frac{(x_0-\bar x)^2}{S_{xx}} \right).$$

Guide de choix — Régression et ANOVA

Aide pédagogique issue des slides Statistics 2026–2027, pages 166–206. Elle complète la lecture des formules déjà retranscrites depuis le formulaire officiel ; ce n’est pas un ajout au formulaire autorisé pour l’examen.

Si l’énoncé demande…	Identifier…	Méthode dans cette page
Ajuster une droite à un facteur numérique	Pente et intercept inconnus	Régression simple
Étudier plusieurs facteurs numériques	Effets à facteurs constants	Régression multiple
Tester la significativité globale de la régression	$H_0:\beta_1=\cdots=\beta_k=0$	Fisher global
Tester un seul coefficient	$H_0:\beta_j=\beta_{j,0}$	Student
Encadrer une pente inconnue	Incertitude sur un paramètre	IC du coefficient
Encadrer une nouvelle observation $Y_0$	Incertitude sur une future réponse individuelle	Intervalle de prédiction
Comparer les moyennes de $k$ groupes	$H_0:\mu_1=\cdots=\mu_k$	ANOVA à un facteur = régression à $k-1$ indicatrices + Fisher global

Conditions et pièges d’interprétation

• Régression du cours : moyenne conditionnelle nulle des erreurs, indépendance, variance constante (homoscédasticité), normalité pour les tests exacts ; matrice de rang plein. Vérifier le modèle avant de calculer.
• ANOVA classique : observations indépendantes, réponse quantitative, normalité dans les groupes et variances communes. On teste les moyennes ; l’égalité des variances est une condition.
• Codage des catégories : $k$ groupes et un intercept exigent $k-1$ indicatrices, plus une catégorie de référence.
• IC bilatéral d’un coefficient : si $0$ appartient à l’IC de niveau $1-\alpha$, on ne rejette pas $H_0:\beta_j=0$ au seuil $\alpha$.
• Conclusion : une p-value n’est pas $P(H_0\mid\text{données})$ ; on dit « on ne rejette pas $H_0$ ». Un $R^2$ élevé ne prouve pas la causalité. Un test ANOVA significatif n’identifie pas les groupes qui diffèrent.

Structure du formulaire officiel

Le document officiel tient sur deux pages : propriétés probabilistes et distributions d’échantillonnage, puis tests et régression. Cette version conserve ce contenu mais le découpe en blocs recherchables et scannables.